Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Bài 3: Cho biểu thức P =
13
23
1:
19
8
13
1
13
1
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P.
b) Tìm các giá trị của x để
6
.
5
P
Bài 4: Cho biểu thức P =
1
2
1
1
:
1
1
aaaa
a
a
a
a
a) Rút gọn P.
b) Tìm giá trị của a để
1.P
c) Tìm giá trị của P nếu 3819 a
Bài 5: Cho biểu thức P =
a
a
a
a
a
a
a
aa
1
1
.
1
1
:
1
)1(
332
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức ( 0,5).M a P
Bài 6: Cho biểu thứ P =
12
2
12
1
1:1
12
2
12
1
x
xx
x
x
x
xx
x
x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P khi
3 2 2
.
2
x
Bài 7: Cho biểu thức P =
1
1:
1
1
1
2
x
x
xxxxx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P 0
Bài 8: Cho biểu thức P =
a
a
a
aa
a
a
a
1
1
.
1
12
3
3
a) Rút gọn P
b) Xét dấu của biểu thức P a1
Bài 9: Cho biểu thức
1 1 2 1 2
:
1
1 1
x x x x x x
P
x
x x x x
a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P với 7 4 3x
c) Tính giá trị lớn nhất của a để
.P a
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Bài 10: Cho biểu thức P =
a
a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1
a) Rút gọn P.
b) Tìm a để 7 4 3.P
Bài 11: Cho biểu thức P =
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để
1
2
P
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 12: Cho biểu thức P =
3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P < 1
Bài 13: Cho biểu thức P =
3
32
1
23
32
1115
x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để
1
2
P
c) Chứng minh
2
.
3
P
Bài 14: Cho biểu thức P =
2
2
44
2
mx
m
mx
x
mx
x
với m > 0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm được ở câu b thoả mãn điều kiện
1.x
Bài 15: Cho biểu thức P = 1
2
1
2
a
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Biết
1a
hãy so sánh P
với
P
c) Tìm a để P = 2
d) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 16: Cho biểu thức P =
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a
a) Rút gọn biểu thức P.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
b) Tính giá trị của P nếu a = 32 và b =
31
13
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu 4 ba
Bài 17: Cho biểu thức P =
1
1
1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì
6.P
Bài 18: Cho biểu thức P =
1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để
P 0
c) Tìm các giá trị của a để P 2
Bài 19: Cho biểu thức P =
ab
abba
ba
abba
.
4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a = 32 và b = 3
Bài 20: Cho biểu thức P =
2
1
:
1
1
11
2
x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0 với x 1
Bài 21: Cho biểu thức P =
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P
b) Tính P
khi x = 325
Bài 22: Cho biểu thức P =
xx
x
x
x 24
1
:
24
2
4
2
3
2
1
:1
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Bài 23: Cho biểu thức P =
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
2
33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P 0
Bài 24: Cho P =
baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31
a) Rút gọn P
b) Tính P khi a = 16 và b = 4
Bài 25: Cho biểu thức P =
12
.
1
2
1
12
1
a
aa
aa
aaaa
a
aa
a) Rút gọn P
b) Cho P =
61
6
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng
2
.
3
P
Bài 26: Cho biểu thức:P=
3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì
1.P
Bài 27: Cho biểu thức P =
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
a) Rút gọn P
b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 28: Cho biểu thức P =
1
2
2
1
:
1
1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để
1
.
6
P
Bài 29: Cho biểu thức P =
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
a) Rút gọn P
b) Cho x.y = 16. Xác định x, y để P có giá trị nhỏ nhất.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Bài 30: Cho biểu thức P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x
1
1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dương x để y = 625 và P 0,2.
VẤN ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN
A. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Xét phương trình
2
0ax bx c với a khác 0, biệt thức
2
4 .b ac
Hệ thức Viet đối với phương trình bậc hai
1 2 1 2
;
b c
x x x x
a a
Nếu
0ac
thì PT có 2 nghiệm phân biệt.
PT có nghiệm
0.
PT có nghiệm kép
0.
PT có 2 nghiệm phân biệt
0.
PT có 2 nghiệm phân biệt trái dấu
1 2
0
0x x
PT có 2 nghiệm dương phân biệT
1 2
1 2
0
0
0
x x
x x
PT có 2 nghiệm âm phân biệt
1 2
1 2
0
0
0
x x
x x
Từ những tính chất quan trọng nêu trên, ta sẽ giải được một dạng toán về PT trùng
phương.
Xét phương trình
4 2
0ax bx c (i) với a khác 0. Đặt
2
0t x , ta có
2
0.at bt c (ii)
PT (i) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 2 nghiệm dương phân biệt.
PT (i) có 3 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có 1 nghiệm dương và 1 nghiệm
bằng 0.
PT (i) có 2 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm dương.
PT (i) có 1 nghiệm khi và chỉ khi (ii) có duy nhất một nghiệm là 0.
Sau đây chúng ta sẽ xét một số bài toán thường gặp mang tính chất điển hình.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Bài toán 2.1 Cho phương trình
2
( 1) 4 4 1 0.m x mx m (1)
a) Hãy giải phương trình trên khi
2m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm.
c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt. Khi đó hãy tìm một biểu thức
liên hệ độc lập giữa các nghiệm của phương trình.
d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
1 2
,x x thỏa mãn
1 2 1 2
17.x x x x
e) Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt.
f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm phân biệt.
g) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu.
h) Tìm m khi
1 2
2 7x x , với
1 2
,x x là hai nghiệm của phương trình.
i) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn nghiệm này bằng 2 lần
nghiệm kia.
Lời giải. a) Khi
2m
thay vào (1) ta được
2
8 9 0x x (2)
PT này có
' 16 9 7 0
Khi đó (2) có hai nghiệm
1 2
4 7; 4 7x x
Vậy với
2m
thì PT đã cho có tập nghiệm là
4 7;4 7 .S
b) Để làm câu hỏi này, ta sẽ chia thành hai trường hợp
TH1: Khi
5
1 5 4 0 1
4
m x x m thỏa mãn.
TH2: Khi m khác 1, PT (1) là PT bậc hai. Xét
2 2 2
' 4 ( 1)(4 1) 4 (4 3 1) 3 1m m m m m m m
PT (1) có nghiệm khi
1
' 0 3 1 0
3
m m
Tóm lại, vậy với
1
3
m thì PT đã cho có nghiệm.
c) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi
1
1 1
1
' 0 3 1 0
3
m
m m
m
m
Khi đó, áp dụng hệ thức Viet ta có
1 2
4 4( 1) 4 4
4
1 1 1
m m
x x
m m m
1 2
4 1 4( 1) 5 5
4
1 1 1
m m
x x
m m m
Do đó
1 2 1 2
4 5
5 5 4 4 5 4 1
1 1
x x x x
m m
Vậy biểu thức cần tìm là
1 2 1 2
5 4 1 .x x x x
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
d) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt khi
1
1 1
1
' 0 3 1 0
3
m
m m
m
m
Áp dụng hệ thức Viet ta có
1 2 1 2
4 4 1
;
1 1
m m
x x x x
m m
Khi đó với
1
1,
3
m m ta có
1 2 1 2
4 4 1 4 4 1
17 17 17
1 1 1
m m m m
x x x x
m m m
8 1
17 8 1 17 17 9 18 2
1
m
m m m m
m
(thỏa mãn ĐK)
Vậy
2m
là giá trị cần tìm.
e) PT (1) có 2 nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi
1 2
1 2
' 0
0
0
x x
x x
1
' 0
3
m
1 2
1
4 1
0 0 (4 1)( 1) 0
1
1
4
m
m
x x m m
m
m
1 2
1
4
0 0 4 ( 1) 0
0
1
m
m
x x m m
m
m
Vậy PT đã cho có 2 nghiệm dương phân biệt khi
1 1
1 or .
3 4
m m
f) PT (1) có 2 nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi
1 2
1 2
' 0
0
0
x x
x x
Đến đây ta làm tương tự như câu e.
g) PT (1) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu khi và chỉ khi
1 2
' 0
0x x
Đến đây ta làm tương tự như câu e.
h) Bình phương hai vế và làm tương tự như câu d, chú ý
2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
4 .x x x x x x x x
i) ĐK để PT (1) có 2 nghiệm phân biệt:
1
1, .
3
m m
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1 2 2 1 1 2 2 1
2 or 2 2 2 0x x x x x x x x
2
2 2
1 2 1 2 1 2 1 2
5 2 0 9 2 0x x x x x x x x
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Áp dụng hệ thức Viet ta có
1 2 1 2
4 4 1
;
1 1
m m
x x x x
m m
, nên
2
2
2
9(4 1) 2.16
0 9( 1)(4 1) 32 0
1 ( 1)
m m
m m m
m m
2 2 2
36 27 9 32 0 4 27 9 0m m m m m
Đến đây các em làm tiếp, chú ý điều kiện PT có 2 nghiệm phân biệt.
NHỮNG ĐIỂM CẦN LƯU Ý KHI GIẢI TOÁN
Đối với những bài toán có liên quan đến hệ thức Viet, thì ta đặc biệt quan tâm đến
ĐK để phương trình có nghiệm, tìm ra được x, ta phải đối chiếu ĐK để PT có
nghiệm.
Ngoài các câu hỏi như trên ta còn có thể hỏi: tìm m thông qua giải bất phương
trình (tương tự như câu hỏi d), tìm giá trị lớn nhất nhỏ nhất. Ví dụ trên, hệ số của
x
2
là tham số nên khi áp dụng Viet ta thấy có biến ở mẫu, thường người ta sẽ
không hỏi min max ở bài này.
Đối với bài toán mà hệ số của x
2
không chứa tham số thì ta có thể hỏi min max
thông qua hệ thức Viet. Chẳng hạn cho PT
2 2
2( 1) 1 0x m x m . Tìm m để
PT có 2 nghiệm
1 2
,x x ; khi đó tìm min của biểu thức
1 2 1 2
2P x x x x ta có
thể làm như sau
Đễ dàng tìm được ĐK để PT có 2 nghiệm
1 2
,x x là
1m
(các em làm đúng kĩ năng như
VD). Áp dụng Viet ta có
2
1 2 1 2
2 2; 1x x m x x m
Khi đó ta có
2 2
1 2 1 2
2 1 2(2 2) 4 3P x x x x m m m m
Đến đây có một sai lầm mà đa số HS mắc phải là phân tích
2 2
4 3 ( 2) 1 1m m m và kết luận ngay
min 1.P
Đối với bài toán này, cách làm trên hoàn toàn sai. Dựa vào điều kiện PT có nghiệm là
1m
, ta sẽ tìm min của P sao cho dấu bằng xảy ra khi
1.m
Ta có
2 2
4 3 3 3 ( 1) 3( 1) ( 1)( 3)P m m m m m m m m m m
Với 1 1 0, 3 0 ( 1)( 3) 0 0m m m m m P
Vậy
min 0P
, dấu bằng xảy ra khi
1m
(thỏa mãn ĐK đã nêu).
Bài toán 2.2 Tìm m để PT
2
4 3 1 0x mx m (i) có hai nghiệm
1 2
, x x thỏa mãn
1 2
2 .x x
Lời giải. PT (i) có
2
' 4 3 1m m , (i) có 2 nghiệm
2 2
' 0 4 3 1 0 4 4 1 0
4 ( 1) ( 1) 0 ( 1)(4 1) 0
1
1 or .
4
m m m m m
m m m m m
m m
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Khi đó theo hệ thức Viet ta có
1 2 1 2
4 ; 3 1x x m x x m (*)
Ta lại có
1 2
1 2
1 2
2
2
2
x x
x x
x x
+ Với
1 2
2x x kết hợp với (*) ta được
1 2 1 2 1 2
1 2 2 2 2
2
1 2 2 2
2
2 2 2
4 2 4 3 4
3 1 2 3 1
2 3 1
x x x x x x
x x m x x m x m
x x m x x m
x m
Từ
2 2
3
3 4
4
x m m x , thế vào
2
2
2 3 1x m ta được
2 2 2
2 2 2 2 2 2
9
2 1 8 9 4 8 9 4 0.
4
x x x x x x
Đến đây, các em làm tiếp để rèn luyện kĩ năng.
+ Với
1 2
2x x ta làm tương tự như trên.
Nhận xét. Bài toán trên, ta đã thế m bởi
2
x bởi lẽ, khi làm như vậy ta không phải khai
phương tức là nếu thế
2
x bởi m thì ta sẽ phải khai phương, không thuận lợi. Ngoài cách
làm trên ta còn có thể giải như sau:
1 2 1 2 1 2
2 2 2 0.x x x x x x Từ đó khai
triển ra và dùng hệ thức Viet để giải.
B. CÁC BÀI TOÁN RÈN LUYỆN
Bài 1: Cho phương trình
2
2
2122 mxxm
a) Giải phương trình khi 12 m
b) Tìm m để phương trình có nghiệm 23x
c) Tìm m để phương trình có nghiệm dương duy nhất.
Bài 2: Cho phương trình
0224
2
mmxxm
a) Tìm m để phương trình có nghiệm 2x . Tìm nghiệm còn lại.
b) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm phân biệt.
c) Tính
2
2
2
1
xx theo m.
Bài 3: Cho phương trình
0412
2
mxmx
a) Tìm m để phương trình 2 có nghiệm trái dấu
b) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Chứng minh biểu thức M =
1221
11 xxxx không phụ thuộc vào m.
Bài 4: Tìm m để phương trình
a)
012
2
mxx có hai nghiệm dương phân biệt
b)
0124
2
mxx
có hai nghiệm âm phân biệt
c)
012121
22
mxmxm có hai nghiệm trái dấu.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Tài liệu ôn thi vào lớp 10 môn Toán by Vũ Văn Bắc
Bài 5: Cho phương trình
021
22
aaxax
a) Chứng minh rằng phương trình trên có 2 nghiệm tráI dấu với mọi a
b) Gọi hai nghiệm của phương trình là x
1
và x
2
. Tìm giá trị của a để
2
2
2
1
xx đạt giá
trị nhỏ nhất
Bài 6: Cho b và c là hai số thoả mãn hệ thức
2
111
cb
Chứng minh ít nhất một trong hai phương trình sau phải có nghiệm
2
2
0
0.
x bx c
x cx b
Bài 7: Với giá trị nào của m thì hai phương trình sau có ít nhất một nghiệm số chung
2
2
2 (3 2) 12 0
4 (9 2) 36 0
x m x
x m x
Bài 8: Cho phương trình
0222
22
mmxx
a) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương phân biệt
b) Giả sử phương trình có hai nghiệm không âm, tìm nghiệm dương lớn nhất của
phương trình.
Bài 9: Cho phương trình
014
2
mxx
a) Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m sao cho phương trình có hai nghiệm x
1
và x
2
thoả mãn điều kiện
10
2
2
2
1
xx
Bài 10: Cho phương trình
05212
2
mxmx
a) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cung dấu. Khi đó hai nghiệm mang dấu gì.
Bài 11: Cho phương trình
010212
2
mxmx
a) Giải và biện luận về số nghiệm của phương trình
b) Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt là
21
;xx hãy tìm một hệ
thức liên hệ giữa
21
;xx mà không phụ thuộc vào m
c) Tìm giá trị của m để
2
2
2
121
10 xxxx đạt giá trị nhỏ nhất.
Bài 12: Cho phương trình
0121
2
mmxxm
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m khác 1.
b) Xác định giá trị của m dể phương trình có tích hai nghiệm bằng 5, từ đó hãy tính
tổng hai nghiêm của phương trình.
c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m.
d) Tìm m để phương trình có nghiệm
21
;xx thoả mãn hệ thức
0
2
5
1
2
2
1
x
x
x
x
Bài 13: Cho phương trình
01
2
mmxx
a) Chứng tỏ rằng phươnh trình có nghiệm
21
;xx với mọi m ; tính nghiệm kép (nếu có)
của phương trình và giá trị của m tương ứng.
www.MATHVN.com
www.DeThiThuDaiHoc.com
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét