bất và hệ bất bậc hai

bất phương trình và
hệ bất phương trình bậc hai

ôn tập chương IV
Phần 1: Phương trình bậc hai một ẩn
Phần 2: Hệ phương trình bậc hai hai ẩn
Phần 3: Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc hai một ẩn
Phần 4: Phương trình và bất phương trình qui về bậc hai

Định lí về dấu của tam thức bậc hai
Cho tam thức : f(x) = ax

+ bx + c (a 0)
và = b
2
- 4ac.
Định lí.
Nếu < 0

thì

f(x) cùng dấu với hệ số a, với mọi số thực x.
Nếu = 0 thì

f(x) cùng dấu với a với mọi x - /.
Nếu > 0 thì

f(x) có hai nghiệm x và x và giả sử x < x.
Thế thì f(x) cùng dấu với a với mọi x ngoài đoạn [ x ; x ]
(tức là x < x hay x > x ) và f(x) trái dấu với a khi x ở trong
khoảng hai nghiệm ( tức là x < x < x ).

Ví dụ áp dụng:
Giải các bất phương trình sau:
a)3x
2
+ 7x - 6 < 0
b) -x
2
+ 6x + 16 0
c) 9x
2
+ 6x +19 > 0

Cho tam thức bậc hai f(x) = ax

+ bx + c (a

0),

R.
af(

) < 0
* f(x) có hai nghiệm phân biệt x

, x

(x

< x

)
1) Định lí.
* x

<

< x

.
Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai
2) Hệ quả 1.
Phương trình bậc hai f(x) = ax + bx + c = 0 (a 0) có hai
nghiệm phân biệt x , x (x < x)
3) Hệ quả 2.
Cho tam thức f(x) = ax + bx + c (a 0). Và hai số , ( < ).
Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm,
một nghiệm

(, ), nghiệm kia
nằm ngoài đoạn [, ]
f().f() < 0 (1)
af( ) < 0. số :

*) Ví dụ áp dụng
Cho tam thức bậc hai
f(x) = ( m
2
+1)x
2
- ( m
4
+ m
2
+ 1 )x + m
4
- m
2
- 1
Chứng minh phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m.
Bài giải
Ta có f(1) = m
2
+ 1 - m
4
- m
2
+ 1 + m
4
- m
2
- 1 = - ( m
2
+ 1)
Do đó a.f(1) = - ( m
2
+ 1)
2
< 0 m.
Theo định lí đảo về dấu tam thức bậc hai
phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt m.

So sánh một số với các nghiệm của
tam thức bậc hai
Tính af()
f(x) có 2 nghiệm
x
1
< < x
2
= 0
là nghiệm của
f(x)
-
Tính ()
+
f(x) vô nghiệm
-
+
Tính ( S/2 - )
= 0
f(x) có ngkép x
0
= -b/2a
và so sánh x
0
với
f(x) có 2 nghiệm
< x
1
< x
2
-
f(x) có 2 nghiệm
x
1
<x
2
<
+

Bài 8 Trang 129
So sánh số -3 với các nghiệm của phương trình:
(m
2
+1)x
2
- 2(m+ 2)x -2 = 0
Bài giải:
Ta có: f(-3) =
9(m
2
+ 1) + 6(m+2) -2 = 9m
2
+ 6m +19 > 0 m.
af(-3) = (m
2
+ 1)( 9m
2
+ 6m +19) > 0 m
= (m+2)
2
+ 2(m
2
+1) = 3m
2
+ 4m + 6 > 0 m.
m+2
m
2
+1
+3
=
3m
2
+m+5
m
2
+1
> 0 m.
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
x
1
, x
2
(

x
1
< x
2
) và -3 < x
1
< x
2
- (-3) =
S
2

Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x
2
+ 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1
c) Phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1;1)
còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1;1]
Bài giải:
a)Phương trình có hai nghiệm trái dấu ac < 0
(m+1)(2m-12) < 0
-1 < m < 6

Bài 9 Trang 129
Cho phương trình: (m+1)x
2
+ 2(m-2)x + 2m -12 =0
Xác định m để :
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1
Bài giải:
b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt và đều lớn hơn 1 (1 < x
1
< x
2
)

af(1) > 0
> 0

(m+1)(5m - 15) > 0
-m
2
+6m+16 > 0
1- 2m
m+1
> 0

m < -1
m > 3
-2 < m < 8
-1 < m < 1/2
Hệ bất phương trình trên vô nghiệm , suy ra không có giá trị nào của m
thoả mãn yêu cầu bài toán
S
2
- 1 > 0

Xem chi tiết: bất và hệ bất bậc hai